【戯言】双子素数の和が12の倍数になる証明（挑戦編）
2008年2月25日 戯言 コメント (16)ぽちょさんの日記で出てた問題を考えてみた。
証明なんて堅苦しいの苦手。（理数系だけど）
詳細を省くと、
・奇数の和は差が2である奇数の間の数(奇数の隣の数)は、偶数(2の倍数)…(1)
・差が2である2数の和は、間の数の2倍…(2)
・差が2である3の倍数ではない2数の間の数は、3の倍数…(3)
双子素数の和は上記の条件に合致するので、
3の倍数の2倍の2倍で、12の倍数となる。
きっとこんな感じだよね。
証明なんて堅苦しいの苦手。（理数系だけど）
詳細を省くと、
・
・差が2である2数の和は、間の数の2倍…(2)
・差が2である3の倍数ではない2数の間の数は、3の倍数…(3)
双子素数の和は上記の条件に合致するので、
3の倍数の2倍の2倍で、12の倍数となる。
きっとこんな感じだよね。
コメント
それなら
素数と素数の和は偶数（2の倍数）…（4）
双子素数は（1）〜（4）を満たすので3＊2＊2＊2で24の倍数
ということにもなりますよね？
本当は、偶数は2の倍数で奇数の間の数は偶数。…真(1)
でまず2n（nは不定値）
で2数の和(2)で2x2n
更に(3)で3x2x2n
多分これなら大丈夫。
(2)は上記の2倍となることの証明。
つまり、(1)〜(3)を満たす数は12の倍数となるって論法。
2x2 まではすぐ見つかったけどx3が見つからなくて悩んでたのでこんな内容に。
でももっと簡単だったんですね…
（3）は要するに(3n-1)+(3n+1)=6nなので3の倍数ですってことですが、ぶっちゃけ3の倍数というか6の倍数です。
要するに（3）のケースは（1）のケースも包含しているので、（1）は必要ないかと。
で、（2）は(m-1)+(m+1)=2mなので2の倍数ですってことですが、m=3nとおけば（3）と同じことを言っているので、（2）をもってさらに2倍にしてはいけないのではないかと思うのですがいかがでしょう？
x=3y
で、(1)はxが偶数なら2の倍数。
x=2z
両方を満たすならxは2でも3でも割り切れるので、
x=6nとも言える。
で、(x-1)+(x+1)=2x だからxに6nを代入して12n
と言う計算だから、同じ数は掛けてないですよ。
修正前だと、「奇数の和は」と「差が2である2数の和」が同じ2倍をさしていて、これは間違い。
まあいいや、修正後のやつで検証してみよう。
具体的に1と3で確認。
（1）差が2である奇数の間の数(奇数の隣の数)は、偶数(2の倍数)
差が2である奇数（1と3）の間の数(2)は、偶数。
うんうん合ってる合ってる。
（2）差が2である2数の和は、間の数の2倍
3+1=4は2の2倍
うんうん合ってる合ってる。
従って2は（1）（2）の両方を満たすから2×2で4の倍数。
うんうん・・って合ってねー
やっぱり全部掛け合わせてはいけないのでは。
とりあえず
＞証明なんて堅苦しいの苦手
これはなんとなく分かりましたw
日本語の使い方が変で「条件」って表現とか（厳密に対象とか）が適切じゃないかもですけど。
3yは6nと6n+3を区別してないわけで、それを区別ために(1)が出てきた感じっすね。
まぁつまるところ6nに辿り着くまでに変な回り道している感じ？
まぁ、ぽちょさんの解答がすげーシンプルなんすけどね。
目から鱗が6枚くらい落ちた感じ。
そしたら、このケースでのxは何を指すんだろう？
なんだか分からなくなってきた。
とりあえず、この方向で証明を考えてみる。
（1）差が2である奇数2n-1、2n+1の間の数2nは2の倍数である。
（2）差が2である数m-1とm+1の和2mは間の数mの2倍である。
従ってm-1、m+1が奇数の場合、すなわちm=2nの場合、m-1とm+1の和は(m-1)+(m+1)=(2n-1)+(2n+1)=4nで、4の倍数となる。
（3）ここで(2n-1)、(2n+1)が3の倍数で無い場合、すなわち2n=3xの場合を考える。
(2n-1)+(2n+1)=4n=4*3x=12xであり、(2n-1)と(2n+1)の和は12の倍数である。
ってことですね！
でも2n=3xってn=3/2xな訳でnが整数って前提に合わなくなるなぁ。
むずい。
(2n-1)+(2n+1)=(3x-1)+(3x+1)=6xだ。
って6の倍数にしかならないよ！
えるくんの証明は、m=2n=3xのところをm=2n=6xにしちゃってる気がする。
双子素数の和が12nであることの証明について、
12n を(2*2*3)n にして、2，2，3についてそれぞれ(1)(2)(3)証明（？）していって、
双子素数の和は全部を満たしているから12nだ!って言っているので、yとzはそれぞれ整数だから、その両方を満たす数は6の倍数になる↓
3y∧2z∴6n
6nを2倍しているので12n→（x-1)+(x+1)=2x=2*6n=12n
えるくんの言いたかったことは分かるけど。
これって（1）→（2）→（3）の順番で書いてあるから分かりにくいんじゃないの？
微妙になんか足りない気もするし。
（1）→（3）→双子素数の集合が（1）、（3）両方満たすものの集合の部分集合であることの証明→（2）の順で論理展開していけば分かりやすいと思った。
確かに。
>微妙になんか足りない気もするし。
>双子素数の集合が（1）、（3）両方満たすものの集合の部分集合であることの証明
の部分がすっぽりなかったり、他にも補足とか言ってたりする部分とか、個々の証明とか盛大に端折ってますしね。。
実際、メモ帳とか見るとわけわかんないことになってるし。
全部判るように書き直すのが面倒だったので「詳細を省くと」って強引やっちゃったんで…ってのは言い訳。
>（1）→（3）→双子素数が…で論理展開
確かに判りやすい
っても、片やややこしい考え方で長々とやってるやつも、解答編の用にあっさり片付くわけで、やっぱ数学って面白い。
それから四つ子素数（11,13,17,19のように10位まで同じで１位が1,3,7,9になる素数の組）の場合はその合計が60の倍数になります。
>17と19など、24の倍数にならない例はたくさんありますよね
12の倍数になる証明っすよね。
四つ子素数なんてのもあるんですか…
探せば色々と面白いネタがまだまだありそうですね。